Capítulo 2 Series de Tiempo y Ecuaciones en Diferencia

2.1 La naturaleza de los datos de Series de Tiempo

El análisis de series de tiempo tiene muchas aplicaciones en diversos campos de la ciencia. Por ejemplo, en la economía continuamente se está expuesto a información recopilada de los mercados financieros, indicadores de empleo, índices o indicadores del nivel de producción, índices de precios, etc. En otros campos de las ciencias sociales se emplea el análisis de series de tiempo para analizar la evolución de la población, los nacimientos, o el número de personas con matrículas escolares. Finalmente, en las ciencias exactas se pueden encontrar casos como los de un epidemiólogo que puede estar interesado en el número de casos de influenza observados en algún periodo de tiempo dado y si a estos se les puede asociar con algún tipo de estacionalidad o si se trata del inicio de un fenómeno atípico.

La primera aproximación que se suele tener a las series de tiempo es mediante el examen de datos puestos en una gráfica, en la cual uno de los ejes es el tiempo y el otro es el valor tomado por la variable. No obstante, en este tipo de exámenes existen dos enfoques. Por un lado, existe el enfoque de la importancia del tiempo, el cual consiste en reconocer cómo lo que sucede hoy es afectado por lo que pasó ayer o, en general, en períodos pasados, o cómo lo que pasa hoy afectará los eventos futuros. Por otro lado, existe el enfoque del análisis frecuentista o de frecuencia, mediante el cual se busca reconocer la importancia que tienen para los investigadores los ciclos –por ejemplo, ciclos estacionales, momentos de crisis económicas, etc.–.

2.2 Ejemplos y aplicaciones de las Series de Tiempo

library(readxl)

Base_1 <- read_excel("BD/Base_1_TimeSeries.xlsx")

IGAE_2018 <- ts(Base_1$IGAE_2018, start = 2002, freq = 12)
IGAE_PRIM_2018 <- ts(Base_1$IGAE_PRIM_2018, start = 2002, freq = 12)
ICC <- ts(Base_1$ICC, start = 2002, freq = 12)
ICC_LAG <- ts(Base_1$ICC_LAG, start = 2002, freq = 12)
IPC_BMV <- ts(Base_1$IPC_BMV, start = 2002, freq = 12)
TDC <- ts(Base_1$TDC, start = 2002, freq = 12)

## Rótulos del periodo muestral, calculados de los datos para que el texto y
## los títulos de las figuras no dependan de la fecha de corte de la base.
meses_es  <- c("enero", "febrero", "marzo", "abril", "mayo", "junio",
               "julio", "agosto", "septiembre", "octubre", "noviembre",
               "diciembre")
meses_abr <- c("Ene", "Feb", "Mar", "Abr", "May", "Jun",
               "Jul", "Ago", "Sep", "Oct", "Nov", "Dic")

fin_cap2      <- end(IGAE_2018)
fin_cap2_txt  <- paste(meses_es[fin_cap2[2]], "de", fin_cap2[1])
per_cap2      <- paste0("Ene.2002-", meses_abr[fin_cap2[2]], ".", fin_cap2[1])

Un primer ejemplo que puede ilustrar la presencia de los dos tipos de enfoques antes mencionados es la Figura 2.1. En esta figura se muestra la evolución del Indicador Global de la Actividad Económica (IGAE) en su versión global o del total de la economía y en su versión únicamente para las actividades primarias entre enero de 2002 y mayo de 2026.

# Las dos series se superponen con par(new = TRUE), así que deben compartir
# la misma escala vertical; se calcula de los datos para que ninguna quede
# recortada al actualizar la base.
lim_igae <- range(IGAE_2018, IGAE_PRIM_2018, na.rm = TRUE)

plot(IGAE_2018, type = "l", lwd = 1, col = "red", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", ylim = lim_igae) 
par(new = T) 
# Indicador Global de la Actividad Económica, Act. Prim., base 2018
plot(IGAE_PRIM_2018, type = "l", lwd = 1, col = "blue", 
     ylab = "Índice", xlab = "Tiempo", ylim = lim_igae)
# Leyenda
legend("topleft", c("IGAE","IGAE Act. Prim."), cex = 0.8, 
       lty = 1:1, col = c("red", "blue"))

Figura 2.1: Indicador Global de la Actividad Económica (IGAE) total y de las Actividades Primarias (2018 = 100), Ene.2002-May.2026

par(new = F)

Como se puede observar, el IGAE del total de la economía muestra, principalmente, que el enfoque del tiempo es más relevante. Es decir, que existe cierta persistencia en el indicador, lo que significa que la economía crece en razón del crecimiento reportado en períodos pasados. No obstante, lo que no podemos reconocer es que los eventos futuros tienen un efecto en el desempeño de la economía hoy día. Así, no es común observar cambios abruptos del indicador, salvo por la crisis global de 2008 y la reciente crisis causada por la COVID-19.

Por el contrario, el IGAE de las actividades primarias muestra una presencia significativa de la importancia de la frecuencia. No pasa desapercibido que existen muchos ciclos en la evolución del indicador. Algo que suena común en las actividades primarias, cuya producción depende de eventos que son cíclicos y que están asociados con el clima u otros factores determinantes de la oferta de productos agrícolas. Otro factor que puede influir en el indicador son elementos de demanda, más que los de oferta. Por ejemplo, el consumo de alimentos típicos de algunas temporadas del año.

Como segundo ejemplo, en la Figura 2.2 se ilustra la evolución reciente del índice de Confianza del Consumidor (ICC) en dos de sus versiones: i) el Índice global y ii) el Índice de confianza de los consumidores cuando estos consideran la situación actual de la economía en relación con el año anterior.

lim_icc <- range(ICC, ICC_LAG, na.rm = TRUE)

plot(ICC, type = "l", lwd = 1, col = "red", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", ylim = lim_icc)
# Comando que indica a R que sin borrar la grafica anterior, 
# grafique la siguiente.
par(new = T) 
# Índice ¿Cómo considera usted la situación económica del país
# hoy en día comparada con la de hace 12 meses? (en puntos)
plot(ICC_LAG, type = "l", lwd = 1, col = "blue", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", ylim = lim_icc)
# Leyenda
legend("bottomleft", c("ICC","ICC lag"), cex = 0.8, lty = 1:1, 
       col = c("red", "blue"))

Índice de Confianza del Consumidor (ICC): General y resultado de ¿Cómo considera usted la situación económica del país hoy en día comparada con la de hace 12 meses? (puntos), Ene.2002-May.2026

Figura 2.2: Índice de Confianza del Consumidor (ICC): General y resultado de ¿Cómo considera usted la situación económica del país hoy en día comparada con la de hace 12 meses? (puntos), Ene.2002-May.2026

par(new = F)

Destacamos que el ICC mide las expectativas de los consumidores en razón de la información pasada y de la esperada, según dichos consumidores. Así, es probable que las dos series de tiempo exhiban un gran peso para los eventos pasados, pero a la vez, un componente –probablemente menor– del componente de frecuencia. Esto último en razón de que los consumidores suelen considerar en sus expectativas de consumo los períodos cíclicos de la economía: temporadas navideñas, pagos de colegiaturas, etc. Este segundo ejemplo también ilustra que la confianza del consumidor no necesariamente está directamente correlacionada con el desempeño de la economía.

Como tercer ejemplo se muestra la evolución de dos series. La Figura 2.3 ilustra el comportamiento reciente de dos indicadores que son referencia para los inversionistas. Por un lado, se ubica el índice de Precios y Cotizaciones de la BMV (IPC), el cual refleja el valor de las acciones de empresas que cotizan en la BMV y el volumen de acciones comercializadas, en conjunto. En el mundo de las finanzas se ha interpretado que el IPC refleja el rendimiento del capital promedio invertido en las empresas que cotizan en la BMV.

par(mfrow=c(1,2))

# Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores
plot(IPC_BMV, type = "l", lwd = 1, col = "red", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", main = "Índice de Precios y \nCotizaciones BMV")
# Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera
plot(TDC, type = "l", lwd = 1, col = "blue", ylab = "Pesos por Dólar",
     xlab = "Tiempo", main = "Tipo de Cambio")

Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (panel izquierdo) y Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera, pesos por dólar (panel derecho), Ene.2002-May.2026

Figura 2.3: Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (panel izquierdo) y Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera, pesos por dólar (panel derecho), Ene.2002-May.2026

par(mfrow=c(1,1))

Por otro lado, en la Figura 2.3 se presenta la evolución del Tipo de Cambio (TDC) –indicador financiero que se suele utilizar como medio de reserva de valor–. Esto, en razón de que el TDC es conocido como un instrumento que en momentos de crisis toma valores contracíclicos de la economía mexicana. No obstante, ambos indicadores no son comparables. Para hacerlos comparables en la Figura 2.4 se presentan en versión índice con una base en el primer mes de la muestra.

IPC_BMV_I <- 100*IPC_BMV/IPC_BMV[1]
TDC_I <- 100*TDC/TDC[1]
# Índice del Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana 
# de Valores
lim_idx <- range(IPC_BMV_I, TDC_I, na.rm = TRUE)

plot(IPC_BMV_I, type = "l", lwd = 1, col = "red", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", ylim = lim_idx)
# Comando que indica a R que sin borrar la grafica anterior, 
# grafique la siguiente.
par(new = T)
# Índice del Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en 
# Moneda Extranjera
plot(TDC_I, type = "l", lwd = 1, col = "blue", ylab = "Índice", 
     xlab = "Tiempo", ylim = lim_idx)
# Leyenda
legend("topleft", c("Índice del IPC","Índice del TDC"), cex = 0.8, 
       lty = 1:1, col = c("red", "blue"))

Índice del Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores e Índice del Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera (ambos, enero de 2002 = 100), Ene.2002-May.2026

Figura 2.4: Índice del Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores e Índice del Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera (ambos, enero de 2002 = 100), Ene.2002-May.2026

par(new = F)

En la perspectiva de la Figura 2.4 se puede apreciar que el TDC no es tan rentable, ya que una inversión en la BMV mediante el IPC, en el largo plazo, muestra más rendimientos. Asimismo, la Figura 2.4 ilustra que en ambas series se observa un dominio de la condición de tiempo y no uno de la frecuencia. Es decir, tanto el IPC como el TDC no responden a condiciones como ciclos o temporadas que sí son observables en actividades económicas como las primarias.

Finalmente, la Figura 2.5 ilustra una característica que también resulta de gran interés en el análisis de series de tiempo: los datos de alta frecuencia y de comportamiento no regular. En la Figura 2.5 se muestran las diferencias logarítmicas de las series de IGAE de la actividad total, el IPC y el TDC.

par(mfrow=c(3,1))
# Indicador Global de la Actividad Económica, base 2018
plot(diff(log(IGAE_2018), lag = 1), type = "l", lwd = 1,
     col = "darkred", ylab = "Var. %", xlab = "Tiempo",
     main = "Indicador Global de la Actividad Económica")
# Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores
plot(diff(log(IPC_BMV), lag = 1), type = "l", lwd = 1, 
     col = "darkgreen", ylab = "Var. %", xlab = "Tiempo", 
     main = "Índice de Precios y Cotizaciones BMV")
# Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera
plot(diff(log(TDC), lag = 1), type = "l", lwd = 1,
     col = "darkblue", ylab = "Var. %", xlab = "Tiempo",
     main = "Tipo de Cambio")

Tasas de crecimiento mensuales (diferencias logarítmicas) del Indicador Global de la Actividad Económica, el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores y el Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera, Ene.2002-May.2026

Figura 2.5: Tasas de crecimiento mensuales (diferencias logarítmicas) del Indicador Global de la Actividad Económica, el Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores y el Tipo de Cambio para Solventar Obligaciones en Moneda Extranjera, Ene.2002-May.2026

par(mfrow=c(1,1))

Dichas diferencias se pueden interpretar como una tasa de crecimiento de las series por las siguientes razones. Consideremos una serie de tiempo dada por $y_t$, cuya versión logarítmica es $ln(y_t)$. De esta forma, la diferencia logarítmica está dada por la ecuación (2.1):

\[\begin{equation} \Delta ln(y_t) = ln(y_t) - ln(y_{t-1}) = ln \left( \frac{y_t}{y_{t-1}} \right) \tag{2.1} \end{equation}\]

Ahora bien, si retomamos la definición de tasa de crecimiento ($TC$) de una serie de tiempo $y_t$ entre el periodo $t$ y $t-1$ podemos obtener que:

\[\begin{equation} TC = \frac{y_t - y_{t-1}}{y_{t-1}} = \frac{y_t}{y_{t-1}} - 1 \tag{2.2} \end{equation}\]

De esta forma, si tomamos el logaritmo de la expresión de la ecuación (2.2) obtenemos la siguiente aproximación:

\[\begin{equation} \frac{y_t}{y_{t-1}} -1 \approx ln \left( \frac{y_t}{y_{t-1}} \right) = ln(y_t) - ln(y_{t-1}) \tag{2.3} \end{equation}\]

La aproximación de la ecuación (2.3) es válida cuando los valores de $y_t$ y $y_{t-1}$ son muy parecidos, es decir, cuando las variaciones entre periodos son suficientemente pequeñas (se deriva de que $ln(1 + x) \approx x$ cuando $x$ es cercano a cero). Dicho de otra forma: para tasas de crecimiento pequeñas, la diferencia logarítmica de la ecuación (2.1) es una buena aproximación de la tasa de crecimiento de la serie.

En la Figura 2.5 se reportan las diferencias logarítmicas del IGAE, el IPC y el TDC, todas interpretables como una medida de distintos tipos de rendimientos. Es decir, un inversionista promedio (suponiendo que solo puede invertir en la actividad económica, en la bolsa o en el dólar) puede comparar cuál de las tres alternativas le resulta más redituable en función de sus preferencias.

Nótese que la dinámica de las variaciones de cada una de las series es significativamente diferente. Destaca que el TDC es una de las variables que, en general, no muestra grandes cambios a lo largo del tiempo. No obstante, se han observado cambios radicales, cuando menos en el año 2008 y durante la pandemia de COVID-19. Esta situación también se ha observado para el IPC. En cambio, el IGAE muestra un comportamiento más estable o estacionario –concepto que abordaremos más adelante–.

2.3 Ecuaciones en Diferencia para procesos deterministas

El tratamiento de las ecuaciones en diferencia que se desarrolla en esta sección y en las siguientes sigue a Guerrero (2003); para la clasificación de los casos según las raíces del polinomio característico puede consultarse también Enders (2015, cap. 1), y para el manejo del operador de rezagos, Kirchgässner, Wolters y Hassler (2013, sec. 1.3).

Hasta aquí hemos descrito series de tiempo observadas. Para modelarlas necesitamos un lenguaje que describa cómo se encadena el valor de una variable con sus propios valores previos, y ese lenguaje es el de las ecuaciones en diferencia. Antes de introducir el componente aleatorio –que es lo que convertirá una ecuación en diferencia en un proceso estocástico– conviene resolver el caso determinista, donde toda la trayectoria queda fijada por los parámetros y por las condiciones iniciales. Dos preguntas organizan el resto del capítulo:

Dada una ecuación en diferencia, ¿cuál es la trayectoria de $Z_t$ que la satisface?
¿Bajo qué condiciones sobre los parámetros esa trayectoria converge a un valor de largo plazo, en lugar de oscilar sin amortiguarse o crecer sin límite?

La respuesta a la segunda pregunta es la que más nos interesa, porque –como veremos al final del capítulo– es exactamente la condición de estacionariedad de los modelos $AR(p)$ que ocuparán los capítulos siguientes.

Una ecuación en diferencia es el análogo, en tiempo discreto, de una ecuación diferencial. Si el tiempo se tratara como una variable continua, la dinámica de una variable $Z(t)$ se describiría mediante sus derivadas sucesivas:

\[\begin{equation} \frac{dZ(t)}{dt}; \frac{d^2Z(t)}{dt^2}; \ldots; \frac{d^kZ(t)}{dt^k} \tag{2.4} \end{equation}\]

Como los datos económicos se observan en fechas discretas –meses, trimestres, años–, el papel de la derivada lo cumplen las diferencias sucesivas. Con $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$, la dinámica de $Z_t$ se describe entonces mediante: \[\begin{equation} \Delta Z_t; \Delta^2 Z_t; \ldots; \Delta^k Z_t \tag{2.5} \end{equation}\]

Estrictamente, el paralelo con la derivada exigiría dividir cada diferencia entre el incremento del tiempo, esto es:

\[\begin{equation} \frac{\Delta Z_t}{\Delta t}; \frac{\Delta^2 Z_t}{\Delta t^2}; \ldots; \frac{\Delta^k Z_t}{\Delta t^k} \tag{2.6} \end{equation}\]

Pero al medir el tiempo en unidades de un periodo se tiene $\Delta t = 1$, de modo que los denominadores desaparecen y las expresiones (2.5) y (2.6) coinciden. En lo que sigue usaremos siempre la primera forma.

2.3.1 Ecuaciones en Diferencia Lineales de Primer Orden

El primer caso que se suele estudiar en relación con las Ecuaciones en Diferencia es el de las Ecuaciones en Diferencia Lineales de Primer Orden. Al respecto, al igual que en el caso continuo, las variaciones de la variable $Z_t$ se pueden expresar como se ilustra en el siguiente ejemplo. Consideremos la siguiente ecuación:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 + a_1 Z_{t-1} \tag{2.7} \end{equation}\]

Donde, $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$, y $a_0$ y $a_1 \neq 0$ son números reales constantes. De (2.7) podemos reagrupar los términos y obtener una forma de ecuación en diferencia: \[\begin{equation} Z_t - a_1 Z_{t-1} = a_0 \tag{2.8} \end{equation}\]

Ahora denotemos a $L Z_t = Z_{t-1}$, es decir, mediante el operador $L$ se puede rezagar una variable dada—entendiendo como rezago a tomar el valor de $Z$ en el período $t-1$–. En general, podemos decir que el operador tiene dos propiedades, la primera es que es lineal –en el sentido de que abre sumas y saca escalares– como se muestra en la siguiente expresión para el caso de un (1) rezago:

\[\begin{equation} L(\alpha Z_{t} + \beta) = \alpha Z_{t-1} + \beta \tag{2.9} \end{equation}\]

Donde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ y $\alpha, \beta \neq 0$. Otro resultado implícito en esta primera propiedad es que el operador rezago aplicado a cualquier escalar dará como resultado el escalar, puesto que este es una constante sin importar el momento $t$ en el cual se encuentre la variable $Z$.

La segunda propiedad del operador es que se puede aplicar de forma consecutiva a una misma variable. Es decir, $L ( Z_{t-1}) = L L Z_{t} = L^2 Z_{t}$, por lo que en general tendremos: $L^p Z_t = Z_{t-p}$ (con $p \in \mathbb{Z}$). Así, en el caso de $p$ rezagos la propiedad de linealidad del operador rezago será: \[\begin{equation} L^p (\alpha Z_{t} + \beta) = \alpha Z_{t-p} + \beta \tag{2.10} \end{equation}\]

Dicho lo anterior, podemos escribir la solución general de (2.8) como:

\[\begin{eqnarray} Z_t - a_1 L Z_t & = & a_0 \nonumber \\ (1 - a_1 L)Z_t & = & a_0 \nonumber \\ Z_t & = & a_0 \frac{1}{1 - a_1 L} + s a^t_1 \nonumber \\ Z_t & = & a_0 \frac{1}{1 - a_1} + s a^t_1 \tag{2.11} \end{eqnarray}\]

Donde $a_1 \neq 1$ y $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$. Nótese que la aplicación del operador rezago $L$ a la constante $a_0$ dará como resultado el valor de la misma constante, ya que ésta no depende del momento $t$ en el cual observemos a la variable $Z_t$; por ello $(1 - a_1 L)^{-1} a_0 = a_0 (1 + a_1 + a^2_1 + \ldots) = a_0/(1 - a_1)$. En la ecuación (2.11) se adiciona un término $s a^t_1$ que permite ubicar la trayectoria inicial de la solución de la ecuación. El componente no significa un cambio respecto de la ecuación (2.8) original, ya que si buscáramos reconstruir esta ecuación tendríamos:

\[\begin{eqnarray} (1 - a_1 L) s a^t_1 & = & s a^t_1 - a_1 s L a^{t}_1 \nonumber \\ & = & s a^t_1 - a_1 s a^{t - 1}_1 \nonumber \\ & = & s a^t_1 - s a^t_1 \nonumber \\ & = & 0 \nonumber \end{eqnarray}\]

Conviene detenerse en el estatus de la ecuación (2.11): por ahora es una solución propuesta, no demostrada. Verificarla exige dos cosas distintas, que atenderemos en orden. La primera es comprobar que efectivamente resuelve la ecuación en diferencia; la segunda, establecer bajo qué condiciones la trayectoria que describe converge.

Empecemos por un procedimiento elemental que, sin ser una demostración completa, hace transparente de dónde sale la solución: ir sustituyendo hacia adelante desde un valor inicial $Z_0$ conocido y observar el patrón que se forma.

\[\begin{equation*} Z_1 = a_0 + a_1 Z_0 \end{equation*}\]

\[\begin{eqnarray*} Z_2 & = & a_0 + a_1 Z_1 \\ & = & a_0 + a_1 (a_0 + a_1 Z_0) \\ & = & a_0 + a_0 a_1 + a^2_1 Z_0 \\ & = & a_0 (1 + a_1) + a^2_1 Z_0 \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} Z_3 & = & a_0 + a_1 Z_2 \\ & = & a_0 + a_1 (a_0 + a_0 a_1 + a^2_1 Z_0) \\ & = & a_0 + a_0 a_1 + a_0 a^2_1 + a^3_1 Z_0 \\ & = & a_0 (1 + a_1 + a^2_1) + a^3_1 Z_0 \end{eqnarray*}\]

El patrón es claro: en cada paso, el coeficiente $a_1$ se acumula como potencia sobre el valor inicial, mientras que la constante $a_0$ va generando una suma geométrica de esas mismas potencias. Repitiendo la sustitución hasta el periodo $t$ se obtiene:

\[\begin{eqnarray} Z_t & = & a_0 + a_1 Z_{t-1} \nonumber \\ & = & a_0 (1 + a_1 + a^2_1 + \ldots + a^{t-1}_1) + a^t_1 Z_0 \nonumber \\ & = & a_0 \sum^{t-1}_{i = 0}{a^i_1} + a^t_1 Z_0 \tag{2.12} \end{eqnarray}\]

La expresión (2.12) separa con nitidez los dos ingredientes de la trayectoria: un término $a_1^t Z_0$ que arrastra la condición inicial y una suma geométrica que acumula el efecto de la constante. Ambos dependen de potencias de $a_1$, y de ahí que la condición $\lvert a_1 \rvert < 1$ –que detallaremos más adelante– gobierne por sí sola la convergencia: si se cumple, el peso del valor inicial se desvanece y la suma converge; si no, ninguno de los dos términos se estabiliza.

Vale la pena fijar la terminología que usaremos. La ecuación (2.7) es lineal porque $Z$ aparece siempre elevada a la primera potencia, y es de primer orden porque sólo interviene un rezago de la variable.

En adelante trabajaremos con ecuaciones en las que la variable $Z$ se encuentra rezagada en cualquiera de los siguientes casos: \[\begin{equation} Z_t, Z_{t-1}, Z_{t-2}, Z_{t-3}, \ldots, Z_{t-p}, \ldots \tag{2.13} \end{equation}\]

Por lo que diremos que en adelante el texto versará sobre ecuaciones en diferencia lineales y de cualquier orden $p \in \mathbb{N}$.

Retomemos la ecuación (2.12) y consideremos la parte de la suma de los términos $a^i_1$, a la cual buscaremos dar una expresión más compacta. Definamos:

\[\begin{equation} S_{t-1} = \sum^{t-1}_{i = 0}{a^i_1} \tag{2.14} \end{equation}\]

Multipliquemos ahora $S_{t-1}$ por $a_1$:

\[\begin{eqnarray} a_1 S_{t-1} & = & a_1 \sum^{t-1}_{i = 0}{a^i_1} \nonumber \\ & = & a_1 (1 + a_1 + a^2_1 + \ldots + a^{t-1}_1) \nonumber \\ & = & a_1 + a^2_1 + a^3_1 + \ldots + a^{t}_1 \tag{2.15} \end{eqnarray}\]

Restando la ecuación (2.15) de la ecuación (2.14), la mayoría de los términos se cancelan entre sí:

\[\begin{eqnarray} S_{t-1} - a_1 S_{t-1} & = & (1 + a_1 + a^2_1 + \ldots + a^{t-1}_1) - (a_1 + a^2_1 + a^3_1 + \ldots + a^{t}_1) \nonumber \\ (1 - a_1) S_{t-1} & = & 1 - a^{t}_1 \nonumber \end{eqnarray}\]

Así, podemos concluir que:

\[\begin{equation} S_{t-1} = \frac{1 - a^{t}_1}{1 - a_1} \tag{2.16} \end{equation}\]

Conjuntando este último resultado de la ecuación (2.16) con la ecuación (2.12) tenemos la siguiente solución por el método de iteración:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 \left( \frac{1 - a^{t}_1}{1 - a_1} \right) + a^t_1 Z_0 \tag{2.17} \end{equation}\]

De esta forma, la ecuación (2.17) es una solución de la Ecuación en Diferencia planteada en la ecuación (2.7). Esta solución aún no es general, en el sentido de que sea válida para cualquier tipo de proceso: convergente o divergente. Dicha convergencia o divergencia estará determinada por el parámetro $a_1$. No debe pasar desapercibido que cuando $t \rightarrow \infty$ o cuando la muestra es muy grande (lo que es equivalente), podemos decir que la solución solo puede converger a la siguiente expresión cuando se considera que $|a_1| < 1$:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 \left( \frac{1}{1 - a_1} \right) \tag{2.18} \end{equation}\]

Retomemos ahora el caso general descrito en la ecuación (2.11) y determinemos una solución general en la cual $a_1 \neq 1$ y $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$. Para ello, observemos que el siguiente componente en la ecuación mencionada se puede interpretar como la suma infinita de términos descritos como:

\[\begin{eqnarray} \frac{1}{1 - a_1} & = & 1 + a_1 + a_1^2 + \ldots + a_1^t + \ldots \nonumber \\ & = & \sum_{i = 0}^{\infty} a_1^{i} \tag{2.19} \end{eqnarray}\]

Donde claramente es necesario que $|a_1| < 1$. Por lo tanto, sólo faltaría determinar el valor de la constante $s$ en la ecuación (2.11) de la siguiente forma, supongamos que observamos el proceso en el momento inicial, por lo que es posible determinar el valor de la constante conociendo el valor inicial del proceso como sigue: \[\begin{equation} Z_0 = a_0 \frac{1}{1 - a_1} + s \tag{2.20} \end{equation}\]

De la ecuación (2.20) tenemos que:

\[\begin{equation} s = Z_0 - a_0 \frac{1}{1 - a_1} \tag{2.21} \end{equation}\]

Así, juntando la ecuación (2.11) y la ecuación (2.21) tenemos la expresión:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 \frac{1 - a^t_1}{1 - a_1} + a^t_1 Z_0 \tag{2.22} \end{equation}\]

No debe pasar desapercibido que esta solución es la misma que la mostrada en la ecuación (2.17): ambos caminos —el método iterativo y el uso del operador rezago— conducen a la misma solución general. En ambos casos la solución converge a la expresión de la ecuación (2.18) bajo la misma condición de convergencia $|a_1| < 1$. Para ilustrar estas ecuaciones, veamos algunos ejemplos al respecto.

Ejemplo. Consideremos que tenemos un proceso $Z_t$ que es descrito por una ecuación en diferencia lineal de primer orden dada por: \[\begin{equation} Z_t = 2 + 0.9 Z_{t-1} \tag{2.23} \end{equation}\]

Siguiendo la expresión mostrada en la ecuación (2.22), obtenemos la expresión:

\[\begin{equation} Z_t = 2 \left( \frac{1 - 0.9^{t}}{1 - 0.9} \right) + 0.9^t Z_0 \tag{2.24} \end{equation}\]

Donde asumiremos que el valor inicial es $Z_0 = 10$ y que la expresión debe converger al valor de 20, cuando $t$ es muy grande o tiende a infinito.

Ejemplo. De forma similar, tomemos otro ejemplo en el cual asumimos la siguiente expresión:

\[\begin{equation} Z_t = 2 - 0.5 Z_{t-1} \tag{2.25} \end{equation}\]

Siguiendo la expresión mostrada en la ecuación (2.22), obtenemos:

\[\begin{equation} Z_t = 2 \left( \frac{1 - (-0.5)^{t}}{1 + 0.5} \right) + (-0.5)^t Z_0 \tag{2.26} \end{equation}\]

Donde asumiremos que el valor inicial es $Z_0 = 10$ y que la ecuación converge al valor de $1.3333333 \ldots$, cuando $t$ es muy grande o tiende a infinito. Ahora simulemos el comportamiento de ambos procesos; los resultados se muestran en el Cuadro 2.1. Notemos que el segundo proceso converge de una forma más rápida que el primero. Los resultados del Cuadro 2.1 se ilustran en las Figuras 2.6 y 2.7.

library(knitr)
library(tidyverse)
library(kableExtra)

Tiempo = c(0:100)
Zt = rep(NA, 101)
Zt2 = rep(NA,101)
Zt[1] = 10
Zt2[1] = 10

for (i in c(2:101)){
  Zt[i] = 2+0.9*Zt[i-1]
  Zt2[i] = 2 - 0.5*Zt2[i-1]
}
lista = c(1:16, 97:101)
Tiempo1 = Tiempo[lista]
Zt1=Zt[lista]
Zt21=Zt2[lista]

tabla1 = data.frame(Tiempo1, Zt1, Zt21)
colnames(tabla1) <- c("Tiempo", "$Z_t =2+0.9Z_{t-1}$", 
                      "$Z_t = 2-0.5Z_{t-1}$")

kable(tabla1, 
      caption = "Dos ejemplos de Ecuaciones Lineales de Primer Orden", 
      format = "pandoc") %>%
  kable_styling(font_size = 10)

Cuadro 2.1: Dos ejemplos de Ecuaciones Lineales de Primer Orden
Tiempo	$Z_t =2+0.9Z_{t-1}$	$Z_t = 2-0.5Z_{t-1}$
0	10.00000	10.000000
1	11.00000	-3.000000
2	11.90000	3.500000
3	12.71000	0.250000
4	13.43900	1.875000
5	14.09510	1.062500
6	14.68559	1.468750
7	15.21703	1.265625
8	15.69533	1.367188
9	16.12580	1.316406
10	16.51322	1.341797
11	16.86189	1.329102
12	17.17570	1.335449
13	17.45813	1.332275
14	17.71232	1.333862
15	17.94109	1.333069
96	19.99960	1.333333
97	19.99964	1.333333
98	19.99967	1.333333
99	19.99970	1.333333
100	19.99973	1.333333

tabla <- data.frame( Tiempo, Zt, Zt2 )

ggplot( data = tabla , aes(x = Tiempo, y = Zt) )+
  geom_line(col="blue4") +
  geom_point(col= "blue4") +
  labs(y=expression(Z[t]))

$Evolución del proceso dado por $Z_t =2+0.9Z_{t-1}$$

Figura 2.6: Evolución del proceso dado por $Z_t =2+0.9Z_{t-1}$

ggplot(data = tabla , aes(x = Tiempo, y=Zt2)) +
  geom_line(col="red4") +
  geom_point(col= "red4") +
  labs(y=expression(Z[t]))

$Evolución del proceso dado por $Z_t =2-0.5Z_{t-1}$$

Figura 2.7: Evolución del proceso dado por $Z_t =2-0.5Z_{t-1}$

2.3.2 Ecuaciones en Diferencia Lineales de Segundo Orden y de orden superior

Como un segundo caso a estudiar se ubica el caso de las Ecuaciones en Diferencia Lineales de Segundo Orden y, en su caso, de orden superior. Primero, sea una ecuación como la siguiente, la cual es lineal y de segundo orden, ya que tiene asociado un término de $Z_t$ rezagado dos períodos:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 + a_1 Z_{t-1} + a_2 Z_{t-2} \tag{2.27} \end{equation}\]

Donde $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ y $a_1, a_2 \neq 0$. Reordenando la ecuación (2.27) podemos escribir: \[\begin{eqnarray} Z_t - a_1 Z_{t-1} - a_2 Z_{t-2} & = & a_0 \nonumber \\ Z_t - a_1 L Z_{t} - a_2 L^2 Z_{t} & = & a_0 \nonumber \\ (1 - a_1 L - a_2 L^2)Z_t & = & a_0 \tag{2.28} \end{eqnarray}\]

Así, la solución general propuesta para la ecuación (2.28) es la siguiente, la cual es una forma análoga a una Ecuación Lineal en Diferencia de Primer Orden:

\[\begin{equation} Z_t = \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 g^t_1 + s_2 g^t_2 \tag{2.29} \end{equation}\]

En donde $s_1$ y $s_2$ son constantes que se determinan mediante dos condiciones iniciales –por lo que para resolver este tipo de ecuaciones requerimos conocer dos condiciones iniciales–. Los valores de $g_1$ y $g_2$ están relacionados con los coeficientes $a_1$ y $a_2$, de esta forma:

\[\begin{equation} a_1 = g_1 + g_2 \tag{2.30} \end{equation}\]

\[\begin{equation} a_2 = - g_1 g_2 \tag{2.31} \end{equation}\]

Lo anterior surge del siguiente procedimiento y recordando que siempre es posible descomponer una ecuación cuadrática en expresiones como las siguientes:

\[\begin{eqnarray} (1 - a_1 L - a_2 L^2) & = & (1 - g_1 L)(1 - g_2 L) \nonumber \\ & = & 1 - g_1 L - g_2 L + g_1 g_2 L^2 \nonumber \\ & = & 1 - (g_1 + g_2) L + g_1 g_2 L^2 \tag{2.32} \end{eqnarray}\]

Donde se observa la equivalencia mostrada en las ecuaciones (2.30) y (2.31). Así, considerando la ecuación (2.29) tenemos que:

\[\begin{eqnarray} (1 - a_1 L - a_2 L^2) Z_t & = & (1 - g_1 L)(1 - g_2 L) Z_t \nonumber \\ & = & a_0 + (1 - g_1 L)(1 - g_2 L) s_1 g^t_1 \nonumber \\ & & + (1 - g_1 L)(1 - g_2 L) s_2 g^t_2 \tag{2.33} \end{eqnarray}\]

Por lo tanto, para que la ecuación (2.29) sea efectivamente una solución general, se requiere que se cumpla lo siguiente: \[\begin{equation} (1 - g_1 L) (1 - g_2 L) s_1 g^t_1 + (1 - g_1 L) (1 - g_2 L) s_2 g^t_2 = 0 \tag{2.34} \end{equation}\]

O, escrito de otra forma:

\[\begin{equation} (1 - g_1 L) s_1 g^t_1 = (1 - g_2 L) s_2 g^t_2 = 0 \tag{2.35} \end{equation}\]

Ahora determinemos cuáles son los valores $g_1$ y $g_2$ dados los valores $a_1$ y $a_2$ que nos permitan determinar si el proceso será convergente. Para ello debemos resolver la siguiente ecuación que se deriva de la ecuación (2.32):

\[\begin{equation} 1 - a_1 x - a_2 x^2 = (1 - g_1 x)(1 - g_2 x) = 0 \tag{2.36} \end{equation}\]

Donde, claramente existen dos raíces: $x_1 = g^{-1}_1$ y $x_2 = g^{-1}_2$. Así, la solución estará dada por las raíces de la ecuación característica:

\[\begin{eqnarray} 1 - a_1 x - a_2 x^2 = 0 \nonumber \\ a_2 x^2 + a_1 x - 1 = 0 \tag{2.37} \end{eqnarray}\]

Cuya solución es:

\[\begin{equation} x = \frac{- a_1 \pm \sqrt{a^2_1 + 4 a_2}}{2 a_2} \tag{2.38} \end{equation}\]

Es importante distinguir tres diferentes casos en relación con las raíces que surgen como solución de la ecuación (2.37), estos son:

Caso I. Si $a^2_1 + 4 a_2 > 0$, la ecuación (2.37) proporcionará dos valores de raíces reales y distintos, eso es $x_1 = g^{-1}_1 \neq x_2 = g^{-1}_2$. Si por ahora suponemos que $|g_1| < 1$ y que $|g_2| < 1$, entonces tendremos que: \[\begin{eqnarray} (1 - g_1 L)^{-1} (1 - g_2 L)^{-1} a_0 & =& \left( \sum^{\infty}_{j = 0}{g^j_1 L^j} \right) \left( \sum^{\infty}_{j = 0}{g^j_2 L^j} \right) a_0 \nonumber \\ & = & \left( \sum^{\infty}_{j = 0}{g^j_1} \right) \left( \sum^{\infty}_{j = 0}{g^j_2} \right) a_0 \nonumber \\ & = & \frac{a_0}{(1 - g_1)(1 - g_2)} \nonumber \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} \tag{2.39} \end{eqnarray}\]

Esto último es el punto de equilibrio de la ecuación (2.29); considerando que $|g_1| < 1$ y que $|g_2| < 1$ –notemos que los demás casos son divergentes, ya que la suma anterior no convergería–. De esta forma, la solución de la ecuación estará dada por: \[\begin{equation} \lim_{t \to \infty} Z_t = \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} \tag{2.40} \end{equation}\]

Caso II. Si $a_1^2 + 4a_2 < 0$ en la ecuación (2.37), entonces las raíces del polinomio característico serán números complejos conjugados. Escribamos dichas raíces como: \[\begin{equation} x_1 = g^{-1}_1 = u - iv, \quad x_2 = g^{-1}_2 = u + iv \tag{2.41} \end{equation}\]

Donde $u = - a_1 / (2 a_2)$ y $v = \sqrt{-(a^2_1 + 4 a_2)} / (2 |a_2|)$ son números reales. Nótese que en este caso la asignación de la etiqueta 1 o 2 a cada raíz es arbitraria; la elegimos así por conveniencia notacional. Los valores $g_1$ y $g_2$ –que son los que aparecen en la solución (2.29)– son los recíprocos de las raíces anteriores y también son conjugados entre sí, por lo que en coordenadas polares los podemos escribir como: \[\begin{eqnarray} g_1 = r e^{i \theta} = r (cos(\theta) + i sen(\theta)) \tag{2.42} \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} g_2 = r e^{-i \theta} = r (cos(\theta) - i sen(\theta)) \tag{2.43} \end{eqnarray}\]

Donde $r = |g_1| = |g_2|$ es el módulo de las raíces $g_i$ y $\theta$ es su argumento. Como $|x_i| = \sqrt{u^2 + v^2}$ y $g_i = x^{-1}_i$, el módulo se obtiene como $r = 1 / \sqrt{u^2 + v^2}$. Alternativamente, usando la ecuación (2.31) podemos escribir $r = \sqrt{g_1 g_2} = \sqrt{-a_2}$ –expresión muy útil en la práctica, pues permite verificar la convergencia sin calcular las raíces–. La única condición es que $r < 1$ (equivalentemente, $a_2 > -1$) para que el proceso descrito en la ecuación (2.29) sea convergente.

Al igual que en el Caso I, el punto de equilibrio de la ecuación se debería ubicar alrededor de la ecuación (2.40), siempre que $r < 1$, por lo que el factor que determina la convergencia es el módulo, ya que si el módulo es mayor a 1, el proceso será divergente, pero si es menor a 1 convergerá a (2.40). Para ilustrar, el caso contrario es divergente puesto que representa trayectorias senoidales (oscilatorias) que sólo pueden converger si a medida que pasa el tiempo las ondas son menos amplias.

Analicemos la solución:

\[\begin{equation*} Z_t = \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 g_1^t + s_2 g_2^t \end{equation*}\]

Donde $s_1$ y $s_2$ las determinamos usando las condiciones iniciales al solucionar:

\[\begin{eqnarray*} Z_0 & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 g_1^0 + s_2 g_2^0 \\ Z_1 & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 g_1^1 + s_2 g_2^1 \end{eqnarray*}\]

Donde, una vez encontradas las $g_1$ y $g_2$, las incógnitas son $s_1$ y $s_2$. Para determinar $g_1$ y $g_2$ realizamos el siguiente procedimiento. Partimos de la ecuación:

\[\begin{equation*} 1 - a_1 x - a_2 x^2 = 0 \end{equation*}\]

Al factorizar notamos que:

\[\begin{equation*} (1 - g_1 x)(1 - g_2 x) = 0 \end{equation*}\]

De lo anterior debe quedar claro que:

\[\begin{eqnarray*} x_1 & = & g_1^{-1} \\ x_2 & = & g_2^{-1} \end{eqnarray*}\]

Donde $g_1$ y $g_2$ se determinan:

\[\begin{equation*} x = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 + 4a_2}}{2 a_2} \end{equation*}\]

Asumiendo que se obtienen números complejos, y siguiendo la convención de la ecuación (2.41):

\[\begin{eqnarray*} x_1 & = & g_1^{-1} = u - iv \\ x_2 & = & g_2^{-1} = u + iv \end{eqnarray*}\]

Las cuales se pueden reescribir en coordenadas polares: \[\begin{eqnarray*} g_1^{-1} & = & s e^{-i \theta} = s [cos(\theta) - i sen(\theta)] \\ g_2^{-1} & = & s e^{i \theta} = s [cos(\theta) + i sen(\theta)] \\ s & = & \sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{g_1^{-1} \cdot g_2^{-1}} \\ cos(\theta) & = & \frac{u}{s} \\ sen(\theta) & = & \frac{v}{s} \end{eqnarray*}\]

Recuerde que: $r = s^{-1} = \sqrt{g_1 \cdot g_2}$, de esta forma: \[\begin{eqnarray*} g_1 & = & r[cos(\theta) + isen(\theta)] \\ g_2 & = & r[cos(\theta) - isen(\theta)] \end{eqnarray*}\]

Retomemos nuestra solución original:

\[\begin{eqnarray*} Z_t & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 g_1^t + s_2 g_2^t \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 r^t[cos(\theta) + isen(\theta)]^t + s_2 r^t[cos(\theta) - isen(\theta)]^t \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 r^t\left(e^{i \theta}\right)^t + s_2 r^t\left(e^{-i \theta}\right)^t \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 r^t\left(e^{i t \theta}\right) + s_2 r^t\left(e^{-i t \theta}\right) \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + s_1 r^t[cos(\theta t) + isen(\theta t)] + s_2 r^t[cos(\theta t) - isen(\theta t)] \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + r^t[(s_1 + s_2)cos(\theta t) + i(s_1 - s_2)sen(\theta t)] \\ & = & \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2} + r^t[A cos(\theta t) + B sen(\theta t)] \end{eqnarray*}\]

Donde $A = s_1 + s_2$ y $B = i(s_1 - s_2)$ son constantes, y la convergencia está definida por $r$: si $r > 1$ el proceso diverge, y converge si $r < 1$. Nótese que para que $Z_t$ sea real, $s_1$ y $s_2$ deben ser conjugados complejos, es decir, $s_2 = \bar{s}_1$. Si escribimos $s_1 = p + iq$ con $p, q \in \mathbb{R}$, entonces $A = s_1 + s_2 = 2p$ y $B = i(s_1 - s_2) = i(2iq) = -2q$, ambos reales, lo que garantiza que $Z_t \in \mathbb{R}$. La trayectoria resultante es entonces una oscilación de periodo $2\pi/\theta$ cuya amplitud evoluciona como $r^t$: se amortigua si $r < 1$ y explota si $r > 1$. Finalmente, el ángulo $\theta$ se recupera de las relaciones anteriores:

\[\begin{equation*} \theta = cos^{-1}\left( \frac{u}{s} \right) = sen^{-1}\left( \frac{v}{s} \right) \end{equation*}\]

Caso III. Ahora revisemos el caso en el que $a_1^2 + 4a_2 = 0$, de esta forma las dos raíces del polinomio característico serán idénticas: $x_1 = x_2 = -a_1 / (2 a_2)$. En consecuencia, también coinciden sus recíprocos, que son los valores que aparecen en la solución: \[\begin{equation} g = g_1 = g_2 = \frac{1}{x_1} = \frac{- 2 a_2}{a_1} = \frac{a_1}{2} \tag{2.44} \end{equation}\]

Donde la última igualdad se obtiene al sustituir $a_2 = - a^2_1/4$, que es precisamente la condición $a_1^2 + 4a_2 = 0$.

Así, el punto de equilibrio será dado por la solución descrita como: \[\begin{eqnarray} (1 - g L)^2 Z_t & = & a_0 \nonumber \\ Z_t & = & \frac{a_0}{(1 - g L)^2} + s_1 g^t + s_2 t g^t \nonumber \\ & = & a_0 \sum_{j = 0}^{\infty} (1 + j) g^j + s_1 g^t + s_2 t g^t \tag{2.45} \end{eqnarray}\]

Para verificar que $t g^t$ es solución independiente de $g^t$ en la parte homogénea, aplicamos el operador $(1 - gL)^2$ directamente: \[\begin{eqnarray*} (1 - gL)^2 (t g^t) & = & (1 - gL)\bigl[t g^t - g(t-1)g^{t-1}\bigr] \\ & = & (1 - gL)\bigl[t g^t - (t-1)g^t\bigr] \\ & = & (1 - gL)\, g^t \\ & = & g^t - g \cdot g^{t-1} \; = \; 0 \end{eqnarray*}\]

Por lo tanto, $t g^t$ satisface la ecuación homogénea y constituye una solución linealmente independiente de $g^t$, lo que justifica la forma de la solución general en el caso de raíces repetidas.

La expansión en serie de la solución particular $\frac{a_0}{(1-gL)^2}$ es resultado del siguiente procedimiento. Sea:

\[\begin{eqnarray} f(g) & = & \frac{1}{(1 - g)} = \sum_{j = 0}^{\infty} g^j \nonumber \end{eqnarray}\]

Por lo que si hacemos la primera derivada de la expresión anterior tenemos que:

\[\begin{eqnarray} f'(g) & = & \frac{1}{(1 - g)^2} \nonumber \\ & = & \sum_{j = 0}^{\infty} j g^{j-1} \nonumber \\ & = & 0 + g^0 + 2 g^1 + 3 g^2 + \ldots \nonumber \\ & = & \sum_{j = 0}^{\infty} (1 + j) g^j \nonumber \end{eqnarray}\]

Ahora veamos un ejemplo de una Ecuación Lineal en Diferencia de Segundo Orden. Supongamos la ecuación y el desarrollo siguientes: \[\begin{eqnarray} Z_t & = & 3 + 0.9 Z_{t-1} - 0.2 Z_{t-2} \nonumber \\ (1 - 0.9 L + 0.2 L^2) Z_t & = & 3 \nonumber \end{eqnarray}\]

La solución dada por una ecuación similar a la expresión (2.37), obtendríamos la solución dada por las ecuaciones equivalentes a: \[\begin{eqnarray} 1 - 0.9 x + 0.2 x^2 = 0 \nonumber \\ - 0.2 x^2 + 0.9 x - 1 = 0 \nonumber \end{eqnarray}\]

De donde las raíces del polinomio característico $x_1 = g_1^{-1}$ y $x_2 = g_2^{-1}$ se obtienen de la expresión dada por:

\[\begin{eqnarray} x & = &\frac{-0.9 \pm \sqrt{0.81 + (4)(-0.2)}}{(2)(-0.2)} \nonumber \\ & = & \frac{-0.9 \pm 0.1}{-0.4} \nonumber \end{eqnarray}\]

Dado que el componente $a^2_1 + 4 a_2$ es positivo, obtendremos dos raíces reales. Las raíces estarán dadas por $x_1 = 2.5$ y $x_2 = 2.0$, de lo cual podemos determinar que $g_1 = 0.4$ y $g_2 = 0.5$. De esta forma tenemos que $|g_1| < 1$ y $|g_2| < 1$, así la ecuación converge a la expresión dada por las siguientes expresiones:

\[\begin{eqnarray} Z_t & = & \frac{3}{1 - 0.9 L + 0.2 L^2} + s_1 (0.4)^t + s_2 (0.5)^t \nonumber \\ & = & \frac{3}{1 - 0.9 + 0.2} + s_1 (0.4)^t + s_2 (0.5)^t \nonumber \\ & = & \frac{3}{(1 - 0.4)(1 - 0.5)} + s_1 (0.4)^t + s_2 (0.5)^t \nonumber \end{eqnarray}\]

Al final, la ecuación que describe la solución general será: \[\begin{equation} Z_t = 10 + s_1 (0.4)^t + s_2 (0.5)^t \tag{2.46} \end{equation}\]

Para determinar los valores de $s_1$ y $s_2$ necesitamos obtener dos valores iniciales de la ecuación. Para lo cual iniciaremos con $t = 0$ y, luego, obtenemos el valor de $t = 1$, y consideremos el valor de $Z_0 = 0$ y $Z_1 = 50$:

\[\begin{eqnarray*} Z_0 & = & 10 + s_1(0.4)^0 + s_2(0.5)^0 \\ 0 & = & 10 + s_1 + s_2 \\ Z_1 & = & 10 + s_1(0.4)^1 + s_2(0.5)^1 \\ 50 & = & 10 + 0.4 s_1 + 0.5 s_2 \end{eqnarray*}\]

Por lo que la solución es: $s_1 = -450$ y $s_2 = 440$, de donde podemos expresar la ecuación como:

\[\begin{equation} Z_t = 10 - 450(0.4)^t + 440(0.5)^t \tag{2.47} \end{equation}\]

La ecuación (2.47) anterior convergerá al valor de 10 cuando $t \rightarrow \infty$. Para ilustrar la trayectoria de esta ecuación tomemos un cuadro similar al de los ejemplos anteriores. En el Cuadro 2.2 y la Figura 2.8 mostramos los resultados de la trayectoria para 100 períodos.

t = ts(c(0:100))

Zt = 10-450*(0.4^t)+440*(0.5^t)

tabla_2 <- data.frame( t, Zt) 

lista = c(1:16, 97:101)
t1 = t[lista]
Zt1=Zt[lista]


tabla1 = data.frame(t1, Zt1)
colnames(tabla1) <- c("Tiempo", "$Z_t =10-450(0.4)^t+440(0.5)^t$")

kable(tabla1, 
      caption = "Un ejemplo de Ecuación de Segundo Orden", 
      format = "pandoc")%>%
  kable_styling(font_size = 10)

Cuadro 2.2: Un ejemplo de Ecuación de Segundo Orden
Tiempo	$Z_t =10-450(0.4)^t+440(0.5)^t$
0	0.00000
1	50.00000
2	48.00000
3	36.20000
4	25.98000
5	19.14200
6	15.03180
7	12.70022
8	11.42384
9	10.74141
10	10.38250
11	10.19597
12	10.09987
13	10.05069
14	10.02565
15	10.01294
96	10.00000
97	10.00000
98	10.00000
99	10.00000
100	10.00000

ggplot(data = tabla_2, aes(x = t, y=Zt)) +
  geom_line(col="green4") +
  geom_point(col= "green4") +
  labs(y=expression(Z[t]))

$Evolución del proceso dado por $Z_t =3+0.9Z_{t-1}-0.2Z_{t-2}$$

Figura 2.8: Evolución del proceso dado por $Z_t =3+0.9Z_{t-1}-0.2Z_{t-2}$

Finalmente, discutiremos la solución para las Ecuaciones Lineales en Diferencia de Orden $p$, donde $p \geq 2$. En general, una ecuación de este tipo se puede escribir como:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 + a_1 Z_{t-1} + a_2 Z_{t-2} + \ldots + a_p Z_{t-p} \tag{2.48} \end{equation}\]

Donde $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ y $a_p \neq 0$. La ecuación (2.48) se puede escribir como:

\[\begin{eqnarray} Z_t - a_1 Z_{t-1} - a_2 Z_{t-2} - \ldots - a_p Z_{t-p} & = & a_0 \nonumber \\ Z_t - a_1 L Z_t - a_2 L^2 Z_t - \ldots - a_p L^p Z_t & = & a_0 \nonumber \\ (1 - a_1 L - a_2 L^2 - \ldots - a_p L^p) Z_t & = & a_0 \tag{2.49} \end{eqnarray}\]

Por el Teorema Fundamental del Álgebra¹ es posible escribir la ecuación (2.49) como:

\[\begin{eqnarray} (1 - g_1 L)(1 - g_2 L) \ldots (1 - g_p L) Z_t & = & a_0 \tag{2.50} \end{eqnarray}\]

Utilizando la ecuación (2.49) y la ecuación (2.50) tenemos que la solución general de una ecuación como la descrita en (2.48) se puede escribir como:

\[\begin{equation} Z_t = \frac{a_0}{1 - a_1 - a_2 - \ldots - a_p} + s_1 g^t_1 + s_2 g^t_2 + \ldots + s_p g^t_p \tag{2.51} \end{equation}\] \[\begin{eqnarray} Z_t & = & \frac{a_0}{(1 - g_1)(1 - g_2) \ldots (1 - g_p)} + s_1 g^t_1 + s_2 g^t_2 + \ldots + s_p g^t_p \tag{2.52} \end{eqnarray}\]

Donde $s_1$, $s_2$, …, $s_p$ son constantes que se determinan utilizando $p$ valores particulares de $Z_t$, y la solución general descrita en las ecuaciones (2.51) y (2.52) implica encontrar $p$ raíces: $x_1 = g^{-1}_1$, $x_2 = g^{-1}_2$, …, $x_p = g^{-1}_p$ de los siguientes polinomios equivalentes: \[\begin{eqnarray} (1 - g_1 x)(1 - g_2 x) \ldots (1 - g_p x) = 0 \tag{2.53} \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} 1 - a_1 x - a_2 x^2 - \ldots - a_p x^p = 0 \tag{2.54} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} a_p x^p + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x - 1 = 0 \tag{2.55} \end{eqnarray}\]

Antes de plantear la solución general, analicemos una solución particular cuando un conjunto de las $p$ raíces, digamos un total de $m$, son iguales, es decir, cuando sucede que $g_1 = g_2 = \ldots = g_m = g$ (con $1 < m \leq p$). En este caso la solución general en la ecuación (2.52) se escribe como: \[\begin{eqnarray} Z_t & = & \frac{a_0}{(1 - g)^m(1 - g_{m+1}) \ldots (1 - g_p)} \nonumber \\ & & + s_1 g^t + s_2 t g^t + \ldots + s_m t^{m-1} g^t + s_{m+1} g^t_{m+1} + \ldots + s_{p} g^t_{p} \tag{2.56} \end{eqnarray}\]

Definamos:

\[\begin{equation} f(g) = \frac{1}{1 - g} = \sum_{j = 0}^{\infty} g^j \tag{2.57} \end{equation}\]

Si retomamos el método descrito párrafos arriba tenemos las siguientes expresiones. Cuando $m = 2$:

\[\begin{equation} f'(g) = \frac{1}{(1 - g)^2} = \sum_{j = 0}^{\infty} j g^{j-1} = \sum_{j = 0}^{\infty} (1 + j) g^j \nonumber \end{equation}\]

En el otro extremo, cuando $m = p$, la derivada de orden $p-1$ es $f^{(p-1)}(g) = (p-1)! \, / \, (1-g)^p$, por lo que:

\[\begin{equation} \frac{1}{(1 - g)^p} = \frac{f^{(p-1)}(g)}{(p-1)!} = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(p-1+j)(p-2+j) \ldots (2+j)(1+j)}{(p-1)!} g^j \tag{2.58} \end{equation}\]

Así, en el extremo cuando $m = p$ la solución general podría estar dada por:

\[\begin{eqnarray} Z_t & = & a_0 \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(p-1+j)(p-2+j) \ldots (2+j)(1+j)}{(p-1)!} g^j \nonumber \\ & & + g^t \sum_{i = 1}^p s_i t^{i-1} \tag{2.59} \end{eqnarray}\]

Donde $|g| < 1$, $t = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$. Para finalizar esta sección, plantearemos la expresión del polinomio característico que nos permitirá hacer el análisis de convergencia de los procesos. Partamos de que la ecuación (2.55) se puede escribir como: \[\begin{equation} (x^{-1})^p - a_1 (x^{-1})^{p-1} - a_2 (x^{-1})^{p-2} - \ldots - a_p = 0 \tag{2.60} \end{equation}\]

La ecuación (2.60) permite interpretar las raíces del polinomio característico de forma directa ya que $x^{-1}_1 = g_1$, $x^{-1}_2 = g_2$, …, $x^{-1}_p = g_p$. La condición exacta de convergencia del proceso descrito en la ecuación (2.48) es que todas las raíces $g_i$ tengan módulo estrictamente menor que uno, como se expresa en la ecuación (2.61):

\[\begin{eqnarray} |g_i| < 1 \tag{2.61} \end{eqnarray}\]

Para todo $i = 1, 2, \ldots, p$ –cuando la raíz es real, el módulo es su valor absoluto; cuando es compleja, $g_i = u \pm iv$, el módulo es $\sqrt{u^2 + v^2}$–. En la práctica, resulta útil disponer de condiciones expresadas directamente en términos de los coeficientes. Dos condiciones necesarias (aunque no suficientes) para la convergencia son las ecuaciones (2.62) y (2.63):

\[\begin{equation} |a_p| < 1 \tag{2.62} \end{equation}\]

\[\begin{equation} a_1 + a_2 + \ldots + a_p < 1 \tag{2.63} \end{equation}\]

Si alguna de ellas falla, el proceso es divergente; sin embargo, su cumplimiento no garantiza la convergencia, por lo que la verificación definitiva requiere calcular las raíces. Por otra parte, una condición suficiente (aunque no necesaria) es que $|a_1| + |a_2| + \ldots + |a_p| < 1$.

Cuando $g_1 = g_2 = \ldots = g_p = g$, la condición de la ecuación (2.61) se resume a que $|g| < 1$. En resumen, la condición descrita en la ecuación (2.61) se puede ilustrar mediante un círculo unitario como el de la Figura 2.9: si todas las raíces $g_i$ se ubican dentro de éste, podemos decir que el proceso es convergente en el largo plazo.

# Crear datos para el círculo unitario
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 200)
circle_data <- data.frame(x = cos(theta), y = sin(theta))

# Raíces de ejemplo: dos convergentes (reales) y una divergente
raices <- data.frame(x     = c(0.4, 0.5, 1.2),
                     y     = c(0, 0, 0),
                     Tipo  = c("Convergente", "Convergente", "Divergente"))

ggplot(circle_data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_path(color = "black") +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey60") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey60") +
  geom_point(data = raices, aes(color = Tipo), size = 2.5) +
  scale_color_manual(values = c("Convergente" = "blue4",
                                "Divergente"  = "red3")) +
  coord_fixed(ratio = 1) +
  xlim(-1.5, 1.5) + ylim(-1.5, 1.5) +
  labs(x = "Parte real", y = "Parte imaginaria") +
  theme(legend.position = "bottom", legend.title = element_blank())

Círculo unitario y condición de convergencia $|g_i| < 1$. Las raíces $g_1 = 0.4$ y $g_2 = 0.5$ (azules) son las del ejemplo de segundo orden desarrollado en esta sección y se ubican dentro del círculo, por lo que el proceso converge; una raíz como $g_3 = 1.2$ (roja) queda fuera del círculo y daría lugar a un proceso divergente

Figura 2.9: Círculo unitario y condición de convergencia $|g_i| < 1$. Las raíces $g_1 = 0.4$ y $g_2 = 0.5$ (azules) son las del ejemplo de segundo orden desarrollado en esta sección y se ubican dentro del círculo, por lo que el proceso converge; una raíz como $g_3 = 1.2$ (roja) queda fuera del círculo y daría lugar a un proceso divergente

2.4 Operador de rezago L

Denotemos, como se ha mencionado con anterioridad, con $L$ al operador de rezago, el cual nos permitirá construir una relación entre diferencias y medias móviles como se verá más adelante en los procesos univariados Autorregresivos de orden $p$, $AR(p)$, y de medias móviles de orden $q$, $MA(q)$ y, en general, Autorregresivos de Media Móviles Integrados $ARIMA(p, d, q)$. Sean $X$, $Y$ o $Z$ variables con las que denotaremos a una serie de tiempo (note que hasta el momento no hemos definido qué es una serie de tiempo, no obstante, no es necesario definirla para hacer uso del operador).

En esta sección resumiremos algunas propiedades usadas en el capítulo y en capítulos más adelante. Así, si a dicha serie le aplicamos el operador rezago antes definido, el resultado deberá ser que cada uno de los valores de la serie es retardado o regresado un período. Es decir:

\[\begin{equation} L Z_t = Z_{t-1} \tag{2.64} \end{equation}\]

De esta forma, si aplicamos el operador rezago $L$ a la nueva serie de tiempo dada por $Z_{t-1}$ podemos obtener $Z_{t-2}$. Haciendo uso de la ecuación (2.64) podemos obtener:

\[\begin{equation} L Z_{t-1} = L(L Z_t) = L^2 Z_t = Z_{t-2} \tag{2.65} \end{equation}\]

Mediante una generalización podemos obtener:

\[\begin{equation} L^k Z_t = Z_{t-k} \tag{2.66} \end{equation}\]

Para $k = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$. Así, para $k = 0$ obtenemos la identidad dado que $L^0 Z_t = Z_t$, de tal forma que siempre asumiremos que $L^0 = 1$. En otro caso, cuando $k > 0$ a la serie de tiempo a la cual se le aplique el operador rezago $L$ se le deberá aplicar un rezago de $k$ periodos a cada uno de los elementos de la serie. Por el contrario, cuando $k < 0$ el operador rezago significa que se deberá adelantar $|k|$ veces a cada elemento de la serie. Por ejemplo, $L^{-3} Z_t = Z_{t+3}$.

Las reglas descritas en lo subsecuente se mantienen indistintamente cuando aplican para el caso de rezagar como para cuando se adelanta una serie. Como primera propiedad tomemos a la siguiente propiedad: \[\begin{equation} L^{m} Z_{t-n} = L^{m} (L^{n} Z_{t}) = L^{m + n} Z_{t} = Z_{t-(n + m)} \tag{2.67} \end{equation}\]

De lo anterior, podemos inferir el siguiente resultado:

\[\begin{equation} \Delta Z_{t} = Z_{t} - Z_{t-1} = (1 - L) Z_{t} \tag{2.68} \end{equation}\]

En el caso de la diferencia de orden cuatro o cuarta diferencia se puede expresar como:

\[\begin{equation} \Delta_{4} Z_{t} = Z_{t} - Z_{t-4} = (1 - L^4) Z_{t} \tag{2.69} \end{equation}\]

Al respecto, vale la pena distinguir dos notaciones que suelen confundirse: $\Delta_k Z_t = (1 - L^k) Z_t = Z_t - Z_{t-k}$ denota la diferencia respecto del periodo $t-k$ –también llamada diferencia estacional cuando $k$ coincide con la periodicidad de los datos–, mientras que $\Delta^k Z_t = (1 - L)^k Z_t$ denota la aplicación iterada $k$ veces de la primera diferencia. Ambas coinciden únicamente cuando $k = 1$. La primera notación resulta de gran utilidad cuando se quiere comparar períodos equivalentes como, por ejemplo, el mismo trimestre pero de un año anterior ($k = 4$ con datos trimestrales). En logaritmos, la ecuación (2.69) se escribe como: \[\begin{equation} \Delta_{4} ln(Z_{t}) = ln(Z_{t}) - ln(Z_{t-4}) = (1 - L^4) ln(Z_{t}) \tag{2.70} \end{equation}\]

Para el caso de una serie de tiempo que se le ha transformado mediante medias móviles, digamos de $4$ periodos, podemos escribirla como: \[\begin{equation} Zs_{t} = \frac{1}{4}(Z_{t} + Z_{t-1} + Z_{t-2} + Z_{t-3}) = \frac{1}{4}(1 + L + L^2 + L^3)Z_{t} \tag{2.71} \end{equation}\]

Una generalización del anterior caso puede ser escrita como un polinomio de orden $p$ con el operador rezago $L$ dado como:

\[\begin{eqnarray} \alpha(L) Z_{t} & = & (1 - \alpha_1 L - \alpha_2 L^2 - \ldots - \alpha_p L^p) Z_{t} \nonumber \\ & = & Z_{t} - \alpha_1 Z_{t-1} - \alpha_2 Z_{t-2} - \ldots - \alpha_p Z_{t-p} \tag{2.72} \end{eqnarray}\]

Donde $\alpha_i$ puede ser reemplazada por cualquier constante $a_i$, con $i = 1, 2, 3, \ldots$, para escribir ecuaciones como las anteriores. Adicionalmente, podemos decir que la ecuación (2.72) es una generalización del caso de medias móviles, el cual admite una ponderación distinta para cada uno de los elementos rezagados.

Existe la posibilidad de operar más de un polinomio a la vez. Para múltiples polinomios (digamos, los polinomios $\alpha(L)$ y $\beta(L)$) podemos escribir el siguiente resultado:

\[\begin{equation} \alpha(L) \beta(L) = \beta(L) \alpha(L) \tag{2.73} \end{equation}\]

Tales polinomios del operador rezago también son llamados filtros lineales. A manera de ejemplo, tomemos el siguiente caso de diferencias para una serie de $Z_t$:

\[\begin{equation} \Delta Z_{t} = (1 - L) Z_{t} = Z_{t} - Z_{t-1} \tag{2.74} \end{equation}\]

y un proceso de medias móviles para la misma serie de $Z_t$: \[\begin{equation} Zs_{t} = \frac{1}{4}(1 + L^1 + L^2 + L^3) Z_{t} = \frac{1}{4}(Z_{t} + Z_{t-1} + Z_{t-2} + Z_{t-3}) \tag{2.75} \end{equation}\]

De tal forma que el producto de ambos procesos se puede escribir como: \[\begin{equation} (1 - L) \times \frac{1}{4}(1 + L^1 + L^2 + L^3) Z_{t} = \frac{1}{4}(1 - L^4) Z_{t} \tag{2.76} \end{equation}\]

Es decir, que el producto de dos polinomios, uno de diferencias y otro más de medias móviles, resulta en uno de diferencias pero de mayor grado, en este caso de grado 4.

2.5 De las Ecuaciones en Diferencia a los Procesos Estocásticos

Hasta aquí hemos estudiado ecuaciones en diferencia deterministas: dado un valor inicial $Z_0$, la trayectoria futura del proceso queda completamente determinada por los parámetros $a_0, a_1, \ldots, a_p$. Sin embargo, en las aplicaciones económicas y financieras raramente observamos series que sigan una trayectoria perfectamente predecible. En la práctica, las series de tiempo se ven afectadas por choques aleatorios —innovaciones, perturbaciones o errores— que las hacen impredecibles en su detalle, aunque sí modelables en su estructura probabilística.

La extensión natural de una ecuación en diferencia determinista de orden $p$ a un proceso estocástico consiste en agregar un término de error $U_t$:

\[\begin{equation} Z_t = a_0 + a_1 Z_{t-1} + a_2 Z_{t-2} + \ldots + a_p Z_{t-p} + U_t \tag{2.77} \end{equation}\]

Donde $U_t$ es un proceso de ruido blanco con $\mathbb{E}[U_t] = 0$, $\text{Var}(U_t) = \sigma^2$ y $\text{Cov}(U_t, U_s) = 0$ para $t \neq s$. A la ecuación (2.77) se le conoce como un proceso Autorregresivo de orden $p$, denotado $AR(p)$, y constituye la base de los modelos de series de tiempo que se estudiarán en los capítulos siguientes.

Usando el operador de rezagos $L$, la ecuación (2.77) se puede escribir de forma compacta como:

\[\begin{equation} (1 - a_1 L - a_2 L^2 - \ldots - a_p L^p) Z_t = a_0 + U_t \end{equation}\]

O bien, definiendo el polinomio $\alpha(L) = 1 - a_1 L - a_2 L^2 - \ldots - a_p L^p$:

\[\begin{equation} \alpha(L) Z_t = a_0 + U_t \end{equation}\]

La conexión con las ecuaciones deterministas es directa: las condiciones de convergencia que estudiamos en las secciones anteriores se convierten en las condiciones de estacionariedad del proceso estocástico. En concreto, el proceso $AR(p)$ descrito en la ecuación (2.77) será estacionario si y solo si todas las raíces del polinomio característico $\alpha(x) = 0$ se ubican fuera del círculo unitario, o equivalentemente, si todos los valores $|g_i| < 1$ para $i = 1, 2, \ldots, p$.

Esta equivalencia es el vínculo fundamental entre el presente capítulo y el Capítulo 3, en el que se estudiarán formalmente los procesos estocásticos estacionarios, sus propiedades y los métodos de estimación e identificación de modelos $AR(p)$, $MA(q)$ y $ARMA(p,q)$.

2.6 Ejercicios

Los siguientes ejercicios combinan preguntas teóricas con aplicaciones en R. Los marcados como (Teórico) se resuelven analíticamente, con lápiz y papel; los marcados como (Computacional) requieren replicar o extender el código desarrollado en este capítulo.

(Teórico) Considere la ecuación en diferencia de primer orden $Z_t = 2 + 0.5 Z_{t-1}$, con condición inicial $Z_0 = 10$.
1. Encuentre la solución general de la ecuación mediante el método iterativo (sustitución recursiva hacia atrás).
2. Determine el punto de equilibrio de largo plazo $Z^*$.
3. Describa la trayectoria de $Z_t$ desde la condición inicial: ¿es monótona u oscilatoria?, ¿converge al equilibrio?
4. Repita los incisos anteriores para la ecuación $Z_t = 2 - 0.5 Z_{t-1}$ (mismo $a_0$, pero $a_1 = -0.5$) y explique en qué cambia la forma de la trayectoria.
(Teórico) Considere la ecuación en diferencia de segundo orden $Z_t = 4 + 0.9 Z_{t-1} - 0.2 Z_{t-2}$.
1. Factorice el polinomio $1 - 0.9 L + 0.2 L^2 = (1 - g_1 L)(1 - g_2 L)$ y encuentre los valores de $g_1$ y $g_2$.
2. Verifique si se cumple la condición de convergencia $|g_i| < 1$, $i = 1, 2$.
3. Calcule el punto de equilibrio de largo plazo.
4. Plantee la solución general de la ecuación en términos de $g_1$, $g_2$ y las constantes $s_1$ y $s_2$ que dependen de las condiciones iniciales.
(Teórico) Considere ahora la ecuación $Z_t = 5 + 1.2 Z_{t-1} - 0.85 Z_{t-2}$.
1. Muestre que las raíces $g_1$ y $g_2$ son un par de números complejos conjugados.
2. Calcule el módulo $r = \sqrt{g_1 g_2} = \sqrt{-a_2}$ y determine si la trayectoria es convergente.
3. Describa cualitativamente la trayectoria de $Z_t$: ¿qué papel juega la parte imaginaria de las raíces?
4. Calcule el punto de equilibrio de largo plazo.
(Teórico) En este capítulo se argumentó que las condiciones $\sum_{i} a_i < 1$ y $|a_p| < 1$ son necesarias pero no suficientes para la convergencia de una ecuación en diferencia de orden $p$. Considere la ecuación $Z_t = a_0 - 0.5 Z_{t-1} + 0.6 Z_{t-2}$.
1. Verifique que ambas condiciones necesarias se cumplen.
2. Encuentre las raíces $g_1$ y $g_2$ y muestre que una de ellas es mayor que 1 en valor absoluto, por lo que la trayectoria es divergente.
3. Verifique que la condición suficiente $\sum_{i} |a_i| < 1$ no se cumple en este caso. ¿Qué ilustra este ejemplo sobre la diferencia entre condiciones necesarias y suficientes?
(Computacional) Escriba una función en R que simule una ecuación en diferencia de primer orden $Z_t = a_0 + a_1 Z_{t-1}$ dados $a_0$, $a_1$, la condición inicial $Z_0$ y el número de periodos $T$.
1. Simule 50 periodos con $a_0 = 1$, $Z_0 = 0$ y cada uno de los valores $a_1 \in \{0.5, -0.5, 0.95, 1, 1.05\}$.
2. Grafique las cinco trayectorias y clasifique cada una como: convergente monótona, convergente oscilatoria, divergente o caso frontera.
3. Relacione cada trayectoria con la condición $|a_1| < 1$ estudiada en el capítulo. ¿Qué tiene de especial el caso $a_1 = 1$?
(Computacional) Utilice el archivo BD/Base_1_TimeSeries.xlsx empleado en este capítulo.
1. Grafique el IGAE (columna IGAE_2018) y el IPC de la Bolsa Mexicana de Valores (columna IPC_BMV) en niveles.
2. Para cada serie, calcule y grafique la variación porcentual anual, es decir, la diferencia logarítmica respecto al mismo mes del año anterior: $\Delta_{12} ln(X_t) = ln(X_t) - ln(X_{t-12})$.
3. Compare las gráficas en niveles con las de variaciones anuales: ¿cuál de las dos transformaciones parece fluctuar alrededor de una media constante? ¿Qué componente (tendencia o estacionalidad) elimina la diferencia anual? Este contraste anticipa la discusión de estacionariedad del Capítulo 3.

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado $p \geq 1$ con coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene exactamente $p$ raíces en $\mathbb{C}$, contadas con multiplicidad. En particular, garantiza que el polinomio $1 - a_1 L - a_2 L^2 - \ldots - a_p L^p$ puede factorizarse en exactamente $p$ factores lineales de la forma $(1 - g_i L)$.↩︎